Soal persamaan eksponen dan sifat sifatnya

Contoh soal dan pembahasan persamaan eksponen

Namun sebelumnya akan saya berikan sifat-sifat yang ada pada persamaan eksponen.
Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.
Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)
Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^f(x) maka  f(x) = 0

Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.
Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x)

Jika f(x)^g(x) = 1 maka   

(1)  f(x) = 1 
(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap
(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka 

(1)  f(x) = g(x)
 (2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka 

(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

sifat-sifat yang ada pada persamaan eksponen.
Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.
Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)
Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^f(x) maka  f(x) = 0

Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.
Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x)

Jika f(x)^g(x) = 1 maka   

(1)  f(x) = 1 
(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap
(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka 

(1)  f(x) = g(x)
 (2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka 

(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

CONTOH SOAL SOAL

Contoh 1
Soal: Tentukan penyelesaian dari persamaan ekponensial berikut ini  2^2x-7 = 8^1-x
Jawab:
Pertama-tama yang perlu Gengs lakukan yaitu menyamakan basis pada kedua ruas [ruas kanan dan ruas kiri] seperti berikut:
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x
Nahhhh karena basismya telah sama, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai x-nya seperti berikut ini.
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2
Sehingga kita peroleh x = 2

Contoh 2
Soal: Carilah bentuk sederhana dari (a12b−3a−1b−32)23 adalah …
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, maka :

Contoh 3
Soal: Tentukan nilai dari 25−2722
Jawab:
25−2722=22(23−25)22
                       =23−25
                       = 8 - 32 = -24

Contoh 4
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut
3x+2+3x=10  
Jawab:
3x+2+3x=10
3x(32+1)=10
           3x(10)=10
                3x=1
                  3x=30
                       x=0

Contoh 5
Soal: Hasil dari 0,125−−−−−√3+132√5+(0,5)2 adalah…
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan bentuk akar, maka

Contoh 6
Soal: Tentukan nilai x dari persamaan 35x−1–27x+3=0
Jawab:
35x−1–27x+3=0
35x−1=(33)x+3
35x−1=33x+9
5x-1 = 3x + 9
   2x = 10
     x = 5

Contoh 7
Soal: Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1
Jawab:
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1
Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut:
x - 1 = 0
     x = 1
Dengan demikian nilai x yang kita peroleh yaitu 1.

Contoh 8
Soal: Jika 3x−2y=181 dan 2x−y=16, maka nilai x + y
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka
3x−2y=181
3x−2y=134
3x−2y=3−4 ........................... pers 1
2x−y=16
2x−y=24
x - y = 4 ................................ pers 2
Dari pers 1 dan pers 2, diperoleh
x - 2y = -4
  x - y = 4
___________ –
-y = -8
  y = 8

Nilai y dapat kita subsitusikan ke pers 1 atau 2, maka
x - 2y = -4
       y = 8
Jadi
x - 2(8) = -4
          x = -4 + 16
          x = 12
ATAU
  x - y = 4
x - (8) = 4
        x = 4 + 8
        x = 12
Didapatkan nilai x = 12, dan nilai y = 8
Jadi, x + y = 12 + 8 = 20

Contoh 9

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari :

9 ^x²+x = 27 ^x²-1
Jawab:
9 ^x²+x = 27 ^x²-1
3 ^2(x²+x) = 3 ^3(x²-1) 
2 (x²+x) = 3 (x²-1)
2x² + 2x = 3x² – 3
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0 
x = 3     atau   x = -1    
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1,3 }

Contoh 10
Soal: Tentukan penyelesaian dari ($\frac{2}{3}$)^x = 6^1-x
Jawab:
Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Sehingga, berdasarkan sifat 3, maka akan diperoleh sebagai berikut:
Sifat-sifat logaritma yang akan kita gunakan pada contoh berikut:
1.  log aⁿ = n log a
2.  log a + log b = log (ab)  
log  ($\frac{2}{3}$)^x = log 6^1-x
x log ($\frac{2}{3}$) = (1 - x) log 6     
x log ($\frac{2}{3}$) = log 6 - x log 6    
x log ($\frac{2}{3}$) + x log 6 = log 6
x (log ($\frac{2}{3}$) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6                   
x = $\frac{log6}{log4}$
x = ⁴log 6
Sehingga penyelesaiannya adalah x = ⁴log 6
***Pelajari juga sifat-sifat dari logaritma

SOAL LATIHAN

---

1.   UN 2003

---

Penyelesaian persamaan  $\begin{array}{c}\sqrt{8^{x^2-4x+3}}=\frac{1}{{32}^{x-1}}\end{array}$ adalah p dan q, dengan p > q. Nila p + 6q = ...
A.   17
B.   -1
C.   4
D.   6
E.   9

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}\sqrt{8^{x^2-4x+3}}& =\frac{1}{{32}^{x-1}}\\ 8^{\frac{x^2-4x+3}{2}}& ={32}^{-(x-1)}\\ {\left(2^3\right)}^{\frac{x^2-4x+3}{2}}& ={\left(2^5\right)}^{-(x-1)}\\ 2^{\frac{3\left(x^2-4x+3\right)}{2}}& =2^{-5(x-1)}\\ \frac{3(x^2-4x+3)}{2}& =-5(x-1)\\ 3(x^2-4x+3)& =-10(x-1)\\ 3x^2-12x+9& =-10x+10\\ 3x^2-2x-1& =0\\ (3x+1)(x-1)& =0\\ x=-1/3atau& x=1\end{array}$

Karena p > q, maka p = 1 dan q = -1/3.
Jadi, nilai p + 6q  =  1 + 6(-1/3)  =  -1

Jawaban : B

---

2.   UN 2006

---

Akar-akar persamaan eksponen 3^2x - 10.3^x+1 + 81 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka nilai x₁ - x₂ = ...
A.   -4
B.   -2
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
3^2x  -  10.3^x+1  +  81  =  0
(3^x)²  -  10.3^x.3¹  +  81  =  0 
(3^x)²  -  30(3^x)  +  81  =  0
(3^x - 3)(3^x - 27) = 0
3^x  = 3  atau  3^x = 27
x = 1  atau  x = 3

Karena  x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 1.
Jadi,  x₁ - x₂  =  3 - 1  =  2

Jawaban : C

---

3.   UN 2006

---

Akar-akar persamaan 2.3^4x - 20.3^2x + 18 = 0 adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ = ...
A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
2.3^4x  -  20.3^2x  +  18  =  0
2(3^2x)²  -  20(3^2x)  +  18  =  0     ÷ 2
(3^2x)²  -  10(3^2x)  +  9  =  0
(3^2x - 1)(3^2x - 9) = 0
3^2x = 1  atau  3^2x = 9
3^2x = 3⁰  atau  3^2x = 3²
2x = 0  atau  2x = 2
x = 0  atau  x = 1

Jadi, nilai x₁ + x₂  =  0 + 1  =  1

Jawaban : B

---

4.   UN 2007

---

Akar-akar persamaan 3^2x+1 - 28.3^x + 9 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka 3x₁ - x₂ = ...
A.   -5
B.   -1
C.   4
D.   5
E.   7

Pembahasan :
3^2x+1  -  28.3^x  +  9  =  0
3^2x.3¹  -  28.3^x  +  9  =  0
3(3^x)²  -  28(3^x)  +  9  =  0

Misalkan y = 3^x, persamaan diatas menjadi
3y² - 28y + 9 = 0
(3y - 1)(y - 9) = 0
y = 1/3  atau  y = 9

Karena y = 3^x, maka penyelesaiannya menjadi
3^x = 1/3  atau  3^x = 9
3^x = 3^-1  atau  3^x = 3²
x = -1  atau  x = 2

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 2 dan x₂ = -1.
Jadi, 3x₁ - x₂ = 3(2) - (-1) = 7

Jawaban : E

---

5.   UN 2008

---

Bila x₁ dan x₂ penyelesaian dari persamaan 2^2x - 6.2^x+1 + 32 = 0 dan x₁ > x₂, maka nilai 2x₁ + x₂ = ...
A.   1/4
B.   1/2
C.   4
D.   8
E.   16

Pembahasan :
2^2x  -  6.2^x+1  +  32  =  0
(2^x)²  -  6.2^x.2¹  +  32  =  0
(2^x)²  -  12(2^x)  +  32  =  0
(2^x - 4)(2^x - 8) = 0
2^x = 4  atau  2^x = 8
x = 2  atau  x = 3

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 2.
Jadi, nilai 2x₁ + x₂  =  2(3) + 2  =  8

Jawaban : D

6.   UN 2008

---

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen $\begin{array}{c}{9}^{2x-4}\ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\end{array}$ adalah ...
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}{9}^{2x-4}& \ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\\ {\left(3^2\right)}^{2x-4}& \ge {\left(3^{-3}\right)}^{x^2-4}\\ 3^{2(2x-4)}& \ge 3^{-3(x^2-4)}\\ 2(2x-4)& \ge -3(x^2-4)\\ 4x-8& \ge -3x^2+12\\ 3x^2+4x-20& \ge 0\end{array}$

Pembuat nol :
3x² + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Jawaban : C

---

7.   UN 2009

---

Akar-akar persamaan 5^x+1 + 5^2-x = 30 adalah a dan b, maka a + b = ...
A.   6
B.   5
C.   4
D.   1
E.   0

Pembahasan :

5^x+1  +  5^2-x  =  30
5^x.5¹  +  5².5^-x  =  30 
5(5^x)  +  25(5^-x)  =  30    × 5^x
5(5^x)²  +  25  =  30(5^x)
5(5^x)²  -  30(5^x)  +  25  =  0   ÷ 5
(5^x)²  -  6(5^x)  +  5  =  0
(5^x - 1)(5^x - 5) = 0
5^x = 1  atau 5^x = 5
x = 0  atau  x = 1

Diperoleh a = 0 dan b = 1.
Jadi, a + b  =  0 + 1  =  1

Jawaban : D

---

8.   UN 2009

---

Akar-akar persamaan 9^x - 12.3^x + 27 = 0 adalah α dan β. Nilai αβ = ...
A.   -3
B.   -2
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan :
9^x  -  12.3^x  +  27  =  0
(3^x)²  -  12(3^x)  +  27  =  0
(3^x - 3)(3^x - 9) = 0
3^x = 3  atau 3^x = 9
x = 1  atau  x = 2

Diperoleh α = 1  dan  β = 2.
Jadi, nilai αβ = 1.2 = 2

Jawaban : D

---

9.   UN 2012

---

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
5^2x  -  6.5^x+1  +  125  >  0
(5^x)²  -  6.5^x.5¹  +  125  >  0
(5^x)²  -  30(5^x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5  atau  5^x > 25
5^x < 5¹  atau  5^x > 5²
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D

---

10.   UN 2014

---

Himpunan penyelesaian dari 3^2x - 6.3^x < 27 adalah ...
A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
3^2x  -  6.3^x  <  27
(3^x)²  -  6(3^x)  -  27  <  0

Misalkan y = 3^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y² - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3^x, maka
3^x > -3  dan  3^x < 9
3^x > -3  dan  3^x < 3²
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C